Question

5．如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC是長方形，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上且A（10，0），C（0，6），點D在AB邊上，將△CBD沿CD翻折，點B恰好落在OA邊上點E處．
（1）求點E的坐標；
（2）求折痕CD所在直線的函數表達式；
（3）請你延長直線CD交x軸于點F．
①求△COF的面積；
②在x軸上是否存在點P，使S_△OCP=$\frac{1}{3}$S_△COF？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據折疊的性質知CE=CB=10．在在直角△COE中，由勾股定理求得OE=8；
（2）根據OC=6知C（0，6），由折疊的性質與勾股定理，求得D（10，$\frac{8}{3}$），利用待定系數法求CD所在直線的解析式；
（3）①根據F（18，0），即可求得△COF的面積；②設P（x，0），依S_△OCP=$\frac{1}{3}$S_△CDE得$\frac{1}{2}$×OP×OC=$\frac{1}{3}$×54，即$\frac{1}{2}$×|x|×6=18，求得x的值，即可得出點P的坐標．

解答 解：（1）如圖，∵四邊形ABCD是長方形，
∴BC=OA=10，∠COA=90°，
由折疊的性質知，CE=CB=10，
∵OC=6，
∴在直角△COE中，由勾股定理得OE=$\sqrt{C{E}^{2}-O{C}^{2}}$=8，
∴E（8，0）；

（2）設CD所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵C（0，6），
∴b=6，
設BD=DE=x，
∴AD=6-x，AE=OA-OE=2，
由勾股定理得AD²+AE²=DE²
即（6-x）²+2²=x²，
解得x=$\frac{10}{3}$，
∴AD=6-$\frac{10}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴D（10，$\frac{8}{3}$），
代入y=kx+6 得，k=-$\frac{1}{3}$，
故CD所在直線的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+6；

（3）①在y=-$\frac{1}{3}$x+6中，令y=0，則x=18，
∴F（18，0），
∴△COF的面積=$\frac{1}{2}$×OF×OC=$\frac{1}{2}$×18×6=54；
②在x軸上存在點P，使得S_△OCP=$\frac{1}{3}$S_△COF，
設P（x，0），依題意得
$\frac{1}{2}$×OP×OC=$\frac{1}{3}$×54，即$\frac{1}{2}$×|x|×6=18，
解得x=±6，
∴在x軸上存在點P，使得S_△OCP=$\frac{1}{3}$S_△COF，點P的坐標為（6，0）或（-6，0）．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理以及待定系數法求一次函數的解析式的綜合應用．解答此題時注意坐標與圖形的性質的運用以及方程思想的運用．