Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分線．
（1）求證：△ABC∽△BDC；
（2）求證：點D是線段AC的黃金分割點．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質、角平分線的定義求出∠A=∠CDB，證明△ABC∽△BDC；
（2）根據相似三角形的性質得到BC²=AC•CD，證明BC=AD，根據黃金分割的概念解答即可．

解答 （1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠CDB，又∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC；
（2）解：∵△ABC∽△BDC，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴BC²=AC•CD，
∵∠A=∠ABD，
∴DA=DB，
∵∠C=∠BDC，
∴BC=DB，
∴BC=AD，
∴AD²=AC•CD．

點評 本題考查的是等腰三角形的性質、黃金分割的概念，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、黃金分割的概念是解題的關鍵．