Question

11．如圖，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG，則下列結論：①AE=BD；②AO=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC；⑤BO=OC+AO，其中正確的結論有（　�。﹤�．

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 ①根據等邊三角形的性質可得出BC=AC、CD=CE、∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，再根據全等三角形的對應邊相等即可證得①成立；②
由全等三角形的對應角相等即可得到∠CBF=∠CAG，根據ASA證得△BCF≌△ACG，再根據全等三角形的對應邊相等即可得出BF=AG，即②不成立；③同理證得CF=CG，得到△CFG是等邊三角形，易得③成立；④過點C作CM⊥AE于點M，CN⊥BD于點N，由全等三角形的對應角相等即可得到∠CDN=∠CEM，根據AAS證得△CDN≌△CEM，再根據全等三角形的對應邊相等即可得出CM=CN，結合角平分線的性質即可得出OC為∠BOE的角平分線，易得④成立；⑤在AE上尋找點P，連接CP使得CP=CO，根據全等三角形的性質可得出EM=DN，再由邊與邊之間的關系利用SSS即可證出△CMG≌△CNF，通過角的計算即可得出∠CPE=∠COD，再結合∠CDO=∠CEP利用AAS即可證出△COD≌△CPE，從而得出OD=PE，由邊與邊之間的關系即可找出BO=AO+OC，即⑤成立．綜上即可得出結論．

解答 解：①∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-60°=∠ACE．
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，結論①成立；
②∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBF=∠CAG．
∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACG=180°-∠ACB-∠DCE=60°．
在△BCF和△ACG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAG}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACG=60°}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴BF=AG，結論②不成立；
③∵△BCF≌△ACG，
∴CF=CG．
∵∠FCG=60°，
∴△CFG為等邊三角形，
∴∠CFG=60°．
∵∠BCF=60，
∴∠BCF=∠CFG，
∴FG∥BE，結論③成立；
④過點C作CM⊥AE于點M，CN⊥BD于點N，如圖所示．
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDN=∠CEM．
在△CDN和△CEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDN=∠CEG}\\{∠CND=∠CGE=90°}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴CM=CN，
∴OC為∠BOE的角平分線，
∴∠BOC=∠EOC，結論④成立；
⑤在AE上尋找點P，連接CP使得CP=CO，如圖2所示．
∵△CDN≌△CEM，
∴EM=DN，
∵BD=AE，BF=AG，
∴MG=NF．
在△CMG和△CNF中，$\left\{\begin{array}{l}{CM=CN}\\{CG=CF}\\{MG=NF}\end{array}\right.$，
∴△CMG≌△CNF（SSS），
∴∠MCG=∠NCF，
∴∠MCN=∠GCF=60°，
∴∠MON=360°-∠MCN-90°-90°=120°．
∵∠BOC=∠EOC，
∴∠BOC=∠EOC=$\frac{1}{2}$∠MON=60°，
∴∠COD=180°-∠BOC=120°．
∵CP=CO，∠COP=60°，
∴△COP為等邊三角形，
∴∠CPO=60°，OP=OC，
∴∠CPE=180°-∠CPO=120°=∠COD．
在△COD和△CPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDO=∠CEP}\\{∠COD=∠CPE}\\{CO=CP}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△CPE（AAS），
∴OD=PE．
∴BO=BD-OD=AE-PE=AO+OP=AO+OC，結論⑤成立．
綜上所述：正確的結論有①③④⑤．
故選B．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質，利用全等三角形的判定與性質逐一判定五條結論的成立與否是解題的關鍵．