Question

1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，將線段AC繞著點C逆時針旋轉得到線段CD，旋轉角為α，且0°＜α＜180°，連接AD、BD．
（1）如圖1，當α=60°時，∠CBD 的大小為30°；
（2）當α=20°時，在圖2的位置畫出對應的圖形；
（3）若∠CBD=30°，請直接寫出α的所有值．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=100°，AB=AC，可以確定∠ABC=∠ACB=40°，旋轉角為α，α=60°時△ACD是等邊三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度數，進而求得∠CBD的大小；
（2）根據旋轉的定義即可得．
（3）結合（1）（2）的解題過程可以發現規律，△ACD是等邊三角形時，CD在△ABC內部時，CD在△ABC外部時，求得答案

解答 解：（1）∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=40°，當α=60°時，
由旋轉的性質得AC=CD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-60°=40°，
∵AB=AC，AD=AC，
∴∠ABD=∠ADB=$\frac{180°-∠BAD}{2}$=70°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=70°-40°=30°，
故答案為：30°；

（2）如圖2所示；


（3）①由（1）可知，∠α=60°時可得∠BAD=100°-60°=40°，∠ABC=∠ACB=90°-$\frac{100°}{2}$=40°，
∠ABD=90°-$\frac{1}{2}$∠BAD=120°-$\frac{100°}{2}$=70°，
∠CBD=∠ABD-∠ABC=30°．
②如圖3，翻折△BDC到△BD₁C，

則此時∠CBD₁=30°，
∠BCD=60°-∠ACB=$\frac{100°}{2}$-30°=20°，
∠α=∠ACB-∠BCD₁=∠ACB-∠BCD=$\frac{180°-100°}{2}$-20°=20°；
③以C為圓心CD為半徑畫圓弧交BD的延長線于點D₂，連接CD₂，
∠CDD₂=∠CBD+∠BCD=30°+$\frac{100°}{2}$-30°=50°，
∠DCD₂=180°-2∠CDD₂=180°-100°=80°，
∠α=60°+∠DCD₂=140°．
綜上所述，α為60°或20°或140°時，∠CBD=30°．

點評 本題考查旋轉變換的定義及性質、等腰三角形的性質，解答這類題目的關鍵是要善于從探究特殊結論中歸納出一般性解題方法，并靈活運用這種方法解答一般性的問題，真正達到舉一反三的目的．