Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，動點E從點C出發，以每秒1個單位長度的速度沿CD方向勻速運動，與此同時，動點F從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿對角線AC方向勻速運動，當點F到達點C時，E，F兩點同時停止運動，連結EF，設運動時間為t秒．
（1）當以C，E，F為頂點的三角形與△CDA相似時，求t的值；
（2）當點E關于點F的對稱點E′落在△ABC的內部（不包括邊上）時，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據速度×時間=路程得：CE=t，AF=2t，分兩種情況：
①當∠CEF=90°時，如圖1，△CEF∽△CDA，②當∠EFC=90°時，如圖2，△CEF∽△CAD；分別列比例式得方程解出即可；
（2）先求出E′落在兩邊AB和BC上時的時間t的值，再寫出E′′落在△ABC的內部（不包括邊上）時t的取值范圍．
當點E關于點F的對稱點E′落在BC上時，如圖3，作輔助線構建全等三角形和相似三角形，表示出CG和GE′的長，通過相似列比例式得方程解出即可；
當點E關于點F的對稱點E′落在AB上時，如圖4，同理得：△EFC≌△E′FA，根據全等三角形對應邊相等得等式解出即可．

解答 解：（1）由題意得：CE=t，AF=2t，
當以C，E，F為頂點的三角形與△CDA相似時，有兩種情況：
①當∠CEF=90°時，如圖1，△CEF∽△CDA，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{CF}{AC}$，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠D=90°，DC=AB=8，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴FC=10-2t，
∴$\frac{t}{8}=\frac{10-2t}{10}$，
10t=80-16t，
t=$\frac{40}{13}$，
②當∠EFC=90°時，如圖2，△CEF∽△CAD，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{t}{10}=\frac{10-2t}{8}$，
8t=10（10-2t），
t=$\frac{25}{7}$，
∵t=10÷2=5，即0≤t≤5，
綜上所述，當以C，E，F為頂點的三角形與△CDA相似時，t的值為$\frac{40}{13}$秒或$\frac{25}{7}$秒；
（2）當點E關于點F的對稱點E′落在BC上時，如圖3，則EF=E′F，
過E′作E′G∥AB，交AC于G，
∵DC∥AB，
∴E′G∥AB∥DC，
∴∠ECF=∠CGE′，
∵∠EFC=∠E′FG，
∴△EFC≌△E′FG，
∴FG=FC=10-2t，CE=E′G=t，
∴CG=2FC=20-4t，
∵E′G∥AB，
∴△CGE′∽△CAB，
∴$\frac{CG}{AC}=\frac{GE′}{AB}$，
∴$\frac{20-4t}{10}=\frac{t}{8}$，
t=$\frac{80}{21}$；
當點E關于點F的對稱點E′落在AB上時，如圖4，
同理得：△EFC≌△E′FA，
∴AF=FC，
∴2t=10-2t，
4t=10，
t=2.5，
∴當點E關于點F的對稱點E′落在△ABC的內部（不包括邊上）時，t的取值范圍是2.5＜t＜$\frac{80}{21}$．

點評 本題考查了矩形的性質、全等三角形、相似三角形的性質和判定以及中心對稱的性質，第1問采用了分類討論的思想，注意不要漏解；第2問采用了數形結合的思想，要想求t的取值，求出點E′在兩邊上時的時間t，即可得出結論．