Question

12．如圖，E是矩形ABCD邊AD上一點，以DE為直徑向矩形內(nèi)部作半圓O，AB=4$\sqrt{3}$，OD=2，點G在矩形內(nèi)部，且∠GCB=30°，GC=2$\sqrt{3}$，過半圓弧（含點D，E）上動點P作PF⊥AB于點F．當(dāng)△PFG是等邊三角形時，PF的長是4或6．

Answer 1

分析 分兩種情況：①作輔助線，構(gòu)建直角三角形和等邊三角形，先根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)求GN的長，再證明D、P、G在一直線上，得△ODP是等邊三角形，則PQ=$\sqrt{3}$，由此求出等邊三角形PFG的高線GH的長，最后利用特殊的三角函數(shù)值求出邊長．
②同理可得結(jié)論．

解答 解：分兩種情況：
①當(dāng)P在正方形內(nèi)部時，如圖1，過G作GH⊥PF于H，交AD于M，BC于N，
∵△PFG是等邊三角形，
∴∠PGH=$\frac{1}{2}$∠PGF=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
Rt△CGN中，∵∠GCB=30°，CG=2$\sqrt{3}$，
∴GN=$\frac{1}{2}CG$=$\sqrt{3}$，
∠CGN=60°，
∴∠CGP=180°-30°-60°=90°，
延長GP交直線CD于D′，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴∠DCG=60°，
∴∠CD′G=30°，
∴D′C=2CG=4$\sqrt{3}$，
∵CD=AB=4$\sqrt{3}$，
∴D與D′重合，
∴∠ADG=60°，
連接OP，過P作PQ⊥AD于Q，
∵OD=OP=2，
∴△ODP是等邊三角形，
∴PQ=$\sqrt{3}$，
∴GH=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
Rt△PHG中，cos30°=$\frac{GH}{PG}$，
∴PG=$\frac{GH}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴PF=PG=4，
②當(dāng)P與D重合，則F與A重合，如圖2，
過G作MN⊥BC，交AD于M，交BC于N，
若△PFG是等邊三角形時，同理得：GN=$\sqrt{3}$，∠DGM=30°，
則MG=3$\sqrt{3}$，
∴DG=6，DM=3，
∴AD=6，
即PF=6，
綜上所述，PF為4或6，
故答案為：4或6．

點評 本題是圓的綜合題，難度適中，考查了同圓的半徑相等、直角三角形30°的性質(zhì)、特殊的三角函數(shù)值、等邊三角形的性質(zhì)和判定，本題的關(guān)鍵是得出△ODP是等邊三角形．