Question

17．如圖，以等腰直角△ABC的斜邊BC為直角邊向外作第二個等腰直角△BCD，再以等腰直角△BCD的斜邊CD為直角邊向外作第三個等腰直角△CDE，再以等腰直角△CDE的斜邊DE為直角邊向外作第四個等腰直角△DEF．連結(jié)AF分別交BC，DC，DE于點M，N，K，若S_△ABM+S_△DNK=13，則△CMN的面積為16．

Answer 1

分析 如圖，由題意設(shè)AB=AC=a，則BC=BD=$\sqrt{2}$a，DC=CE=2a，DE=DF=2$\sqrt{2}$a，EF=4a，AF=$\sqrt{（3a）^{2}+（4a）^{2}}$=5a．由DN∥AB，推出$\frac{DN}{AB}$=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{3\sqrt{2}a}$=$\frac{2}{3}$．推出DN=$\frac{2}{3}$a，CN=CD-DN=$\frac{4}{3}$a，由AB∥CD，CM∥DK，推出△ABM∽△NCM∽△NDK，推出$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△DNK}}$=$\frac{9}{4}$，$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△CMN}}$=$\frac{9}{16}$，由S_△ABM+S_△DNK=13，推出S_△ABM=9，S_△CMN=16．

解答 解：如圖，由題意設(shè)AB=AC=a，則BC=BD=$\sqrt{2}$a，DC=CE=2a，DE=DF=2$\sqrt{2}$a，EF=4a，AF=$\sqrt{（3a）^{2}+（4a）^{2}}$=5a．

∵DN∥AB，
∴$\frac{DN}{AB}$=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{3\sqrt{2}a}$=$\frac{2}{3}$．
∴DN=$\frac{2}{3}$a，CN=CD-DN=$\frac{4}{3}$a，
∵AB∥CD，CM∥DK，
∴△ABM∽△NCM∽△NDK，
∴$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△DNK}}$=$\frac{9}{4}$，$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△CMN}}$=$\frac{9}{16}$，
∵S_△ABM+S_△DNK=13，
∴S_△ABM=9，S_△CMN=16．
故答案為16．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識、解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題，靈活運用相似三角形的性質(zhì)，屬于中考填空題中的壓軸題．