Question

如圖，點A，E，F，C在同一條直線上，AE=CF，過點E，F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，求證：BD平分EF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：根據HL證出Rt△ABF≌Rt∠CDE，得出BF=DE，再根據AAS證出△BFG≌△DEG得出EG=FG，從而證得結論．

解答： 解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°，
在Rt△ABF和Rt∠CDE中，

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△ABF≌Rt∠CDE（HL）．
∴BF=DE，
在△BFG和△DEG中，

∠BGF=∠DGE ∠BFG=∠DEG BF=DE

，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，
即BD平分EF．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，三角形外角性質，全等三角形的性質和判定的應用，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．全等三角形的對應邊相等，對應角相等．