Question

16．某商品的進價為每個3元，已知該商品每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間滿足關系y=ax²+16x+c，其圖象如圖所示．
（1）求a、c的值；
（2）銷售單價為多少元時，該商品每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
（3）銷售單價在什么范圍時，該商品每天的銷售利潤不低于16元？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求二次函數解析式得出即可；
（2）利用配方法求出二次函數最值即可；
（3）根據題意令y=16，解方程可得x的值，結合圖象可知x的范圍．

解答 解：（1）y=ax²+16x+c圖象過點（3，0）、（5，16），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+48+c=0}\\{25a+80+c=16}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=-39}\end{array}\right.$．

（2）∵y=-x²+16x-39=-（x-8）²+25，
∴當x=8時，y_最大=25．
答：銷售單價為8元時，該種商品每天的銷售利潤最大，最大利潤為25元；

（3）根據題意，當y=16時，得：-x²+16x-39=16，
解得：x₁=5，x₂=11，
即銷售單價5≤x≤11時，該種商品每天的銷售利潤不低于16元．

點評 本題考查了二次函數的應用以及待定系數法求二次函數解析式等知識，正確利用二次函數圖象是解題關鍵．