Question

8．已知拋物線y=ax²-2amx+am²+2m+4的頂點P在一條定直線上
（1）直接寫出直線l的解析式；
（2）若存在唯一的實數m，使拋物線經過原點．
①求此時的a和m的值；
②拋物線的對稱軸與x軸交于點A，B為拋物線上一動點，以OA、OB為邊作□OACB，若點C在拋物線上，求B的坐標．（3）拋物線與直線l的另一個交點Q，若a=1，直接寫出△OPQ的面積的值或取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出頂點坐標，即可解決問題．
（2）①拋物線經過原點，所以x=0時，y=0，得am²+2m+4=0，因為實數m唯一，所以△=0，得到4-16a=0，可得a=$\frac{1}{4}$，m=-4．
②如圖1中，根據平行四邊形的性質，可知點B的橫坐標為-2，由此可以求出點B坐標．
（3）如圖2中，直線y=2x+4與x軸交于點B（-2，0），交y軸于點A（0，4），作OM⊥AB于M．由$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$•AB•OM，求出OM，利用方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+2m+4}\end{array}\right.$，可得P（m，m+2），Q（m+2，2m+8），求出PQ的長即可解決問題．

解答 解：（1）∵y=ax²-2amx+am²+2m+4=a（x-m）²+2m+4，
∴頂點P坐標為（m，2m+4），
∴頂點P在直線y=2x+4上．

（2）①∵拋物線經過原點，
∴x=0時，y=0，
∴am²+2m+4=0，
∵實數m唯一，
∴△=0，
∴4-16a=0，
∴a=$\frac{1}{4}$，m=-4．

②如圖1中，

∵四邊形OACB是平行四邊形，
∴OA∥BC，OA=BC=4，
∵BC∥x軸，A（-4，0），
根據對稱性可知，B、C關于對稱軸對稱，
∴點B的橫坐標為-2，y=$\frac{1}{4}$（x+4）²-4，
∴x=-2時，y=-3，
∴點B坐標為（-2，-3）．

（3）如圖2中，

∵直線y=2x+4與x軸交于點B（-2，0），交y軸于點A（0，4），作OM⊥AB于M．
∴OB=2，OA=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$•AB•OM，
∴OM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2mx+m²+2m+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+2m+4}\end{array}\right.$，消去y得x²-（2m+2）x+m（m+2）=0，解得x=m或m=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=2m+4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=m+2}\\{y=2m+8}\end{array}\right.$，
∴P（m，m+2），Q（m+2，2m+8），
∴PQ=$\sqrt{（m+2-m）^{2}+（2m+8-2m）^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$•PQ•OM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{17}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{85}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、平行四邊形的判定和性質、三角形的面積、兩點間距離公式、方程組等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用方程組求兩個函數的交點坐標，體現了數形結合的思想，屬于中考壓軸題．