Question

17．如圖，一次函數y=-（b+2）x+b的圖象經過點A（-1，0），且與y軸相交于點C，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$相交于點P．
（1）求b的值；
（2）作PM⊥PC交y軸于點M，已知S_△MPC=4，求雙曲線的解析式．

Answer 1

分析 （1）將點P的坐標代入一次函數解析式中即可得出關于b的一元一次方程，解之即可得出b值；
（2）過點P作PB⊥MC于點B，由一次函數圖象上點的坐標特征即可找出點C的坐標，由此可得出OC=OA，進而找出∠ACO=45°、△PMC為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質結合三角形的面積即可求出PB的長度，再根據點P的位置結合一次函數圖象上點的坐標特征即可找出點P的坐標，由點P的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出反比例函數解析式，此題的解．

解答 解：（1）∵一次函數y=-（b+2）x+b的圖象經過點A（-1，0），
∴b+2+b=0，
解得：b=-1．
（2）過點P作PB⊥MC于點B，如圖所示．
將b=-1代入一次函數解析式，得：y=-x-1．
當x=0時，y=-1，
∴點C的坐標為（0，-1），
∴OC=1，
∵點A的坐標為（-1，0），
∴OA=1=OC，
∴∠ACO=45°．
∵PM⊥PC，
∴△PMC為等腰直角三角形，
∵PB⊥MC，
∴PB=$\frac{1}{2}$MC，
∴S_△PMC=$\frac{1}{2}$CM•PB=PB²，
∵S_△PMC=4，
∴PB²=4，即PB=2或PB=-2（舍去），
∵點P在第二象限，
∴點P的橫坐標為-2，
當x=-2時，y=-（-2）-1=1，
∴點P的坐標為（-2，1）．
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$經過點P，
∴k=-2×1=-2，
∴雙曲線的解析式為y=-$\frac{2}{x}$．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、一次函數圖象上點的坐標特征、反比例函數圖象上點的坐標特征以及等腰直角三角形的性質，根據三角形的面積結合一次函數圖象上點的坐標特征求出點P的坐標是解題的關鍵．