Question

7．【閱讀】如圖（1），點P在射線ON上，點A、B在射線OM上，且滿足$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OB}{OP}$，若將△POB沿ON翻折至△POB′處，點B′落在射線OS上，則稱∠APB′是∠MOS的伴隨角．
【理解】
（1）如圖（2），已知∠MON=45°，∠APB′是∠MOS的伴隨角，則∠APB′=135°°．
（2）如圖（1），已知∠MOS=α（0°＜α＜90°），OP=3，若∠APB′是∠MOS的伴隨角，連接AB′，則△AOB′的面積為$\frac{9}{2}$sinα（用含α的三角函數表示）．
【嘗試】
（3）如圖（3），點P是平面直角坐標系中一點，直線y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸、y軸分別交于點A、B，當點P的坐標為多少時，∠APB是∠AOB的伴隨角．
（4）如圖（4），點P是函數y=$\frac{3}{x}$（x＞0）圖象上的一個動點，直線AB與x正半軸、y正半軸分別交于點A、B，且OA+OB=5，當∠APB是∠AOB的伴隨角時，求直線AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠APB′+$\frac{1}{2}$∠MOS=180°，利用這個結論即可解決問題．
（2）如圖2中，連接AB′，作B′H⊥OM于H．由OB•OA=OB′•OA=OP²=9，S_△AOB′=$\frac{1}{2}$•OA•B′H=$\frac{1}{2}$•OA•OB′•sinα即可解決問題．
（3））如圖3中，作射線OP，PH⊥OA于H．由直線y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸、y軸分別交于點A、B，推出A（4，0），B（0，2），OA=4，OB=2，由∠APB是∠AOB的伴隨角，推出OP平分∠AOB，OP²=OB•OA=8，在Rt△OPH中，求出OH、PH即可．
（4）如圖4中，設OA=m，則OB=5-m，射線求出點P坐標，根據OP²=OA•OB，列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖1中，∵$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OB}{OP}$，∠POB=∠POA，
∴△POB∽△AOP，
∴∠OPB=∠OAP，
∵△OPB′是由△OPB翻折得到，
∴∠OPB′=∠OPB，∠POB=∠POB′
∴∠APB′+$\frac{1}{2}$∠MOS=∠OPA+∠OAP+∠POA=180°，
（1）如圖2中，

∵∠APB′是∠MOS的伴隨角，
∴∠APB′+$\frac{1}{2}$∠MOS=180°，
∵∠MON=$\frac{1}{2}$∠MOS=45°，
∴∠APB′=135°，
故答案為135°．

（2）如圖2中，連接AB′，作B′H⊥OM于H．

∵OB•OA=OB′•OA=OP²=9，
∴S_△AOB′=$\frac{1}{2}$•OA•B′H=$\frac{1}{2}$•OA•OB′•sinα=$\frac{9}{2}$sinα，
故答案為$\frac{9}{2}$sinα．

（3）如圖3中，作射線OP，PH⊥OA于H．

∵直線y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴A（4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵∠APB是∠AOB的伴隨角，
∴OP平分∠AOB，OP²=OB•OA=8，
∴OP=2$\sqrt{2}$，∠POH=∠OPH=45°，
∴OH=OP=2，
∴P（2，2）．

（4）如圖4中，設OA=m，則OB=5-m，

∵∠APB是∠AOB的伴隨角，
∴OP平分∠AOB，OP²=OA•OB，
∵點P在y=$\frac{3}{x}$上，
∴P（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），OP=$\sqrt{6}$
∴m（5-m）=6，
∴m=2或3，
∴A（2，0），B（0，3）或A（3，0），B（0，2），
∴直線A的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+2或y=-$\frac{3}{2}$x+3．

點評 本題考查反比例函數綜合題、相似三角形的判定和性質、待定系數法等知識，解題的關鍵是理解題意，正確尋找相似三角形，屬于中考創新題目．