Question

17．如圖1，在△ABC中，AB=BC，P為底邊BC上一點，PF⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．

（1）求證：PE+PF=CH．
（2）如圖2，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，不用證明．
（3）若∠A=30°，△ABC的面積為81，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，點P到AB邊的距離PE=6或12．（直接寫出答案即可）

Answer 1

分析 （1）連接AP，根據等腰三角形的性質可表示出S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$×AC×（PE+PF），同時可表示出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BH，從而可得到PE+PF=BH．
（2）連接AP．先根據三角形的面積公式分別表示出S_△ABP，S_△ACP，S_△ABC，再由S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC即可得出PE=PF+PH；
（3）先根據直角三角形的性質得出AC=2CH，再由△ABC的面積為81，求出CH=9，由于CH＞PF，則可分兩種情況進行討論：①P為底邊BC上一點，運用結論PE+PF=CH；②P為BC延長線上的點時，運用結論PE=PF+CH

解答 解：（1）如圖1，∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PE，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•PF，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH．
又∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AB•PE+$\frac{1}{2}$AC•PF=$\frac{1}{2}$AB•CH．
∵AB=AC，
∴PE+PF=CH．


（2）如圖2，PE=PF+CH．證明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PE，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•PF，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，
∵S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AB•PE=$\frac{1}{2}$AC•PF+$\frac{1}{2}$AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；

（3）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，AB=AC，
∴$\frac{1}{2}$×2CH•CH=81，
∴CH=9．
分兩種情況：
①P為底邊BC上一點，如圖①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=9-3=6；
②P為BC延長線上的點時，如圖②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+9=12．
∴PE=6或12．
故答案為：6或12．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查等腰三角形的性質及三角形面積的綜合運用，此題的關鍵是利用面積公式將所求聯系在一起．難度適中，運用等面積法證明可使問題簡便，（3）中分情況討論是解題的關鍵．