Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，OA=3，AB=4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點A落在OC邊上的點E處，拋物線y=ax²+bx+c過A、E、B三點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若M為拋物線的對稱軸上一動點，當(dāng)△MBE的周長最小時，求M點的坐標(biāo)；
（3）點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BO向點O運動．P點到達(dá)終點B時，Q點同時停止運動，運動時間為t（秒）．若△PBQ是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及OE=OA得出點A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）根據(jù)M為直線AE與對稱軸x=2的交點時，ME+MB的值最小，即△MBE的周長最小，分別求出直線AE的解析式，從而得出直線AE與對稱軸x=2的交點即可得；
（3）分BP=BQ、QP=QB、QP=PB三種情況依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程，求解可得答案．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，OA=3，AB=4，
∴∠OAB=∠OCB=90°，OC=AB=4，CB=OA=3．
又∵OE=OA=3，
∴A﹙0，3﹚，B﹙4，3﹚，E﹙3，0﹚
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A，B，E三點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{9a+3b+c=0}\\{16a+4b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x+3．

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2．
∵點A，B關(guān)于直線x=2對稱，
∴M為直線AE與對稱軸x=2的交點時，ME+MB的值最小，而BE的長一定，此時△MBE的周長最�。�
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+m，
則有$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{3k+m=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x+3．
當(dāng)x=2時，y=1，
∴M點的坐標(biāo)為（2，1）；

（3）由題意知PB=4-t，BQ=t，
①若BP=BQ，則4-t=t，
解得：t=2；
②若QP=QB，如圖1，作QD⊥AB于D，則BD=$\frac{4-t}{2}$，

∵∠QDB=∠OAB=90°，∠QBD=∠OBA，
∴△QDB∽△OAB，
∴$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BQ}{BO}$，即$\frac{\frac{4-t}{2}}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得：t=$\frac{20}{13}$；
③若QP=PB，如圖2，作PE⊥QB于E，則BE=$\frac{t}{2}$，

∵∠PEB=∠OAB=90°，∠PBE=∠OBA，
∴△PBE∽△OAB，
∴$\frac{PB}{OB}$=$\frac{BE}{BA}$，即$\frac{4-t}{5}$=$\frac{\frac{t}{2}}{5}$，
解得：t=$\frac{32}{13}$；
綜上，△PBQ是等腰三角形時，t的值為2或$\frac{20}{13}$或$\frac{32}{13}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合運用，熟練掌握矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點間線段最短、等腰三角形的判定及相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．