Question

12．我們將1×2×3×…×n記作n！（讀作n的階乘），如：2！=1×2，3！=1×2×3，4！=1×2×3×4，若設(shè)S=1×1！+2×2！+3×3！+…+2016×2016！，則S除以2017的余數(shù)是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 1008
• D． 2016

Answer 1

分析 由（n+1）！=1×2×3×…×n×（n+1）=（n+1）×n！=n×n！+n！知，可將原式兩邊都加上1！+2！+3！+…+2016！，即可得S=2017！-1，所以S除以2017的余數(shù)是-1，再根據(jù)2017！能被2017整除，求出S除以2017的余數(shù)是多少即可．

解答 解：∵（n+1）！=1×2×3×…×n×（n+1）=（n+1）×n！=n×n！+n！，
∴S+1！+2！+3！+…+2016！=1×1！+2×2！+3×3！+…+2016×2016！+1！+2！+3！+…+2016！，
即S+1！+2！+3！+…+2016！=1！+2！+3！+…+2017！，
則S=2017！-1，
∵2017!能被2017整除，
∴S與1的和能被2017整除，
∴S除以2017的余數(shù)是：2017-1=2016．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答此類問題的關(guān)鍵是弄清新定義，得出（n+1）！=（n+1）×n！=n×n！+n！的數(shù)據(jù)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．