Question

17．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D是斜邊BC的中點，點E、F分別為AB、AC邊上的點，且DE⊥DF．
（1）求證：DF=DE；
（2）連接EF，若BE=8，CF=6，求△DEF的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AD．只要證明△CDF≌△ADE（ASA）即可解決問題．
（2）連接EF，在RT△AEF中，求出FE，再根據等腰直角三角形的性質求出DE、DF即可解決問題．

解答 （1）證明：連接AD．
∵AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，
又∵∠BAC=90°，
∴AD=CD=BD，∠C=∠DAE=45°，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠ADE+∠ADF，
∴∠CDF=∠ADE，
在△CDF和△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}∠C=∠DAE\\ CD=AD\\∠CDF=∠ADE\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△ADE（ASA），
∴DF=DE．

（2）連接EF．由（1）知，AE=CF=6，同理AF=BE=8   
∵∠EAF=90°
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵DE=DF，DE⊥DF
∴△DEF為等腰三角形
∴DE²+DF²=EF²=100
∴DE=DF=5$\sqrt{2}$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$•（5$\sqrt{2}$）²=25．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．