Question

13．如圖，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，且AE=$\sqrt{3}$，EB=3$\sqrt{3}$，$\widehat{AB}$的度數(shù)為120°．解答問題：
（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出圓心O（不寫作法，保留痕跡）
（2）求出⊙O的半徑；
（3）求出弦CD的長度．

Answer 1

分析 （1）分別作AB和CD的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O；
（2）連接OB，AB的垂直平分線交AB于F，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AF=BF，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到∠BOF=60°，然后在Rt△BOF中利用∠BOF的正弦可求出OB；
（3）CD的垂直平分線交CD于H，連接OD，如圖，易得四邊形OFEH為矩形，則OH=EF=$\sqrt{3}$，則在Rt△OHD中利用勾股定理可計(jì)算出DH=$\sqrt{13}$，然后根據(jù)垂徑定理得到CD=2DH=2$\sqrt{13}$．

解答 解：（1）如圖，點(diǎn)O為所作；

（2）連接OB，AB的垂直平分線交AB于F，如圖，
∵OF⊥AB，
∴AF=BF，∠BOF=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵AE=$\sqrt{3}$，EB=3$\sqrt{3}$，$\widehat{AB}$
∴AF=BF=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BOF中，∵sin∠BOF=$\frac{BF}{OB}$，
∴OB=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
即⊙O的半徑為4；
（3）CD的垂直平分線交CD于H，連接OD，如圖，
∵AF=2$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{3}$，
∴EF=$\sqrt{3}$，
易得四邊形OFEH為矩形，
∴OH=EF=$\sqrt{3}$，
在Rt△OHD中，DH=$\sqrt{O{D}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵OH⊥CD，
∴CH=DH，
∴CD=2DH=2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了垂徑定理和解直角三角形．