Question

4．在平面直角坐標系xOy中，已知點A的坐標為（0，-1），點C（m，0）是x軸上的一個動點．
（1）如圖1，點B在第四象限，△AOB和△BCD都是等邊三角形，點D在BC的上方，當點C在x軸上運動到如圖所示的位置時，連接AD，請證明△ABD≌△OBC；
（2）如圖2，點B在x軸的正半軸上，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，點D在AC的上方，∠D=90°，當點C在x軸上運動（m＞1）時，設點D的坐標為（x，y），請探求y與x之間的函數表達式；
（3）如圖3，四邊形ACEF是菱形，且∠ACE=90°，點E在AC的上方，當點C在x軸上運動（m＞1）時，設點E的坐標為（x，y），請探求y與x之間的函數表達式．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質得到AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，從而判斷出∠ABD=∠OBC即可；
（2）過點D作DH⊥y軸，垂足為H，延長HD，過點C作CG⊥HD，垂足為G，由△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，得出∠ADC=90°，AD=CD，∠CDG=∠DAH，從而得到△AHD≌△DGC（AAS），根據DH=CG=OH，點D的坐標為（x，y），得出y與x之間的關系是y=x；
（3）過點E作EM⊥x軸，垂足為M，則∠EMC=∠COA=90°，再利用正方形的性質即可得出△EMC≌△COA（AAS），得到MC=OA=1，EM=OC，EM=OC=x+1，進而得出y與x之間的關系是y=x+1．

解答 解：（1）∵△AOB和△BCD都是等邊三角形，
∴AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠OBC，
在△ABD和△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=OB}\\{∠ABD=∠OBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD和△OBC；            
 
（2）如圖，過點D作DH⊥y軸，垂足為H，延長HD，過點C作CG⊥HD，垂足為G．
∴∠AHD=∠CGD=90°，
∵△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADH+∠CDG=90°，
∵∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠CDG=∠DAH，
∵在△AHD和△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHD=∠CGD}\\{∠CDG=∠DAH}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AHD≌△DGC（AAS），
∴DH=CG=OH，
∵點D的坐標為（x，y），
∴y與x之間的關系是y=x；

（3）過點E作EM⊥x軸，垂足為M，則∠EMC=∠COA=90°，
∵四邊形ACEF是菱形，且∠ACE=90°，
∴AC=CE，∠ACO+∠ECO=90°，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠ECO=∠CAO，
在△EMC和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMC=∠COA}\\{∠ECO=∠CAO}\\{AC=CE}\end{array}\right.$，
∴△EMC≌△COA（AAS），
∴MC=OA=1，EM=OC，
∵點E的坐標為（x，y），
∴EM=OC=x+1，
∴y與x之間的關系是y=x+1．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形，等腰直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定的綜合應用，解本題的關鍵是判定三角形全等，根據全等三角形的對應邊相等進行推導．本題也可以運用相似三角形的性質進行求解．