Question

9．在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°．
（1）如圖1，若AB=5$\sqrt{2}$，求BC的長；
（2）點D是BC邊上一點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AE．
①如圖2，當點E在AC邊上時，求證：CE=2BD；
②如圖3，當點E在AC的垂直平分線上時，直接寫出$\frac{AB}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，過點A作AH⊥BC于H，分別在Rt△ABH，Rt△AHC中求出BH、HC，即可得到BC的長；
（2）如圖2中，過點A作AP⊥AB交BC于P，連接PE，由△ABD≌△APE，可得BD=PE，再利用30度角直角三角形性質即可得到CE=2BD；
（3）如圖3中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分線交AC于P，交BC于M，則AP=PC，作DK⊥AB于K，設BK=DK=a，則AK=$\sqrt{3}$a，AD=2a，只要證明∠BAD=30°即可得出$\frac{AB}{CE}$的值．

解答 解：（1）如圖1，過點A作AH⊥BC于H，則∠AHB=∠AHC=90°，
在Rt△AHB中，∵AB=5$\sqrt{2}$，∠B=45°，
∴BH=ABcosB=5，AH=ABsinB=5，
在Rt△AHC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AH=10，CH=ACcosC=5$\sqrt{3}$，
∴BC=BH+CH=5+5$\sqrt{3}$；

（2）①證明：如圖2，過點A作AP⊥AB交BC于P，連接PE，則∠BAP=90°，∠APB=45°，
由旋轉可得，AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAP=90°=∠DAE，
∴∠BAD=∠PAE，
∵∠B=∠APB=45°，
∴AB=AP，
在△ABD和△APE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AP}\\{∠BAD=∠PAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△APE，
∴BD=PE，∠B=∠APE=45°，
∴∠EPB=∠EPC=90°，
∵∠C=30°，
∴CE=2PE，
∴CE=2BD；

②如圖3，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分線交AC于P，交BC于M，則AP=PC，
在Rt△AHC中，∵∠ACH=30°，
∴AC=2AH，
∴AH=AP，
在Rt△AHD和Rt△APE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AP}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△AHD≌△APE（HL），
∴∠DAH=∠EAP，
∵EM⊥AC，PA=PC，
∴MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，
∴∠DAM=∠EAM=$\frac{1}{2}$∠DAE=45°，
∴∠DAH=∠EAP=15°，
∴∠BAD=∠BAH-∠DAH=30°，
如圖3，作DK⊥AB于K，
設BK=DK=a，則AK=$\sqrt{3}$a，AD=2a，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{a+\sqrt{3}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∵AE=CE=AD，
∴$\frac{AB}{CE}$=$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$．

點評 本題屬于幾何變換綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質、含30°角直角三角形的性質、線段垂直平分線性質以及三角形內角和定理等知識的綜合應用，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形和特殊直角三角形，學會設參數解決問題．