Question

19．如圖，正方形OABC的邊長為2，以O為圓心，EF為直徑的半圓經過點A，連接AE，CF相交于點P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開始，繞著點O逆時針旋轉90°，交點P運動的路徑長是（　　）

• A． 2π
• B． $\sqrt{2}$π
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 如圖，連接AC．首先證明∠EPF=135°，推出點P在與K為圓心的圓上，點P的運動軌跡是$\widehat{EPF}$，在⊙K上取一點M，連接ME、MF、EK、FK，則∠M=180°-∠EPF=45°，推出∠EKF=2∠M=90°，因為EF=4，所以KE=KF=2$\sqrt{2}$，根據弧長公式計算即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AC．

∵AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFC=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°，
∵EF是直徑，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠EPF=135°，
∴點P在與K為圓心的圓上，點P的運動軌跡是$\widehat{EPF}$，
在⊙K上取一點M，連接ME、MF、EK、FK，則∠M=180°-∠EPF=45°，
∴∠EKF=2∠M=90°，
∵EF=4，
∴KE=KF=2$\sqrt{2}$，
∴P運動的路徑長=$\frac{90π•2\sqrt{2}}{180}$=$\sqrt{2}$π，
故選B．

點評 本題考查軌跡、正方形的性質、旋轉變換、圓的有關知識、弧長公式等知識，解題的關鍵是正確尋找點P的運動軌跡，屬于中考常考題型．