Question

19．如圖，OB、OC是∠AOD的兩條射線，OM和ON分別是∠AOB和∠COD內部的一條射線，且∠AOD=α，∠MON=β．
（1）當∠AOM=∠BOM，∠DON=∠CON時，試用含α和β的代數式表示∠BOC；
（2）①當∠AOM=2∠BOM，∠DON=2∠CON時，∠BOC等于多少？（用含α和β的代數式表示）
②當∠AOM=3∠BOM，∠DON=3∠CON時，∠BOC等于多少？（用含α和β的代數式表示）
（3）根據上面的結果，請填空：當∠AOM=n∠BOM，∠DON=n∠CON時，∠BOC=$\frac{n+1}{n}$β-$\frac{1}{n}$α．（n是正整數）（用含α和β的代數式表示）．

Answer 1

分析 （1）根據∠BOC=∠MON-∠BOM-∠CON，等量代換即可表示出∠BOC的大小；
（2）①當∠AOM=2∠BOM，∠DON=2∠CON時，等量代換即可表示出∠BOC的大小；②當∠AOM=3∠BOM，∠DON=3∠CON時，等量代換即可表示出∠BOC的大小；
（3）當∠AOM=n∠BOM，∠DON=n∠CON時，等量代換即可表示出∠BOC的大小；

解答 （1）∵∠AOM=∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠CON=∠DON=$\frac{1}{2}$∠COD，
∵∠BOC=∠MON-∠BOM-∠CON=∠MON-$\frac{1}{2}$∠AOB-$\frac{1}{2}$∠COD=∠MON-$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠COD）=∠MON-$\frac{1}{2}$（∠AOD-∠BOC）=β-$\frac{1}{2}$（α-∠BOC）=β-$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$∠BOC，
則∠BOC=2β-α．
（2）①當∠AOM=2∠BOM，∠DON=2∠CON時，
∵∠BOM+∠CON=$\frac{1}{2}$（∠AOM+∠DON）=$\frac{1}{2}$（α-β），
∴∠BOC=∠MON-（∠BOM+∠CON）=β-$\frac{1}{2}$（α-β）=$\frac{3}{2}$β-$\frac{1}{2}$α；
②當∠AOM=3∠BOM，∠DON=3∠CON時，
∵∠BOM+∠CON=$\frac{1}{3}$（∠AOM+∠DON）=$\frac{1}{3}$（α-β），
∴∠BOC=∠MON-（∠BOM+∠CON）=β-$\frac{1}{3}$（α-β）=$\frac{4}{3}$β-$\frac{1}{3}$α；
（3）當∠AOM=n∠BOM，∠DON=n∠CON時，
∵∠BOM+∠CON=$\frac{1}{n}$（∠AOM+∠DON）=$\frac{1}{n}$（α-β），
∴∠BOC=∠MON-（∠BOM+∠CON）=β-$\frac{1}{n}$（α-β）=$\frac{n+1}{n}$β-$\frac{1}{n}$α；
故答案為：$\frac{n+1}{n}$β-$\frac{1}{n}$α．

點評 此題考查了角的計算，以及角平分線定義，利用了等量代換的思想，熟練掌握角平分線定義是解本題的關鍵．