Question

14．如圖，A，B，C為⊙O上的點，AD為⊙O的直徑，AE⊥BC于E，AB=5，BE=$\sqrt{21}$，CE=$\sqrt{5}$，求AD的長．

Answer 1

分析 連接AC、CD，由勾股定理求出AE=2，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=3，由圓周角定理得出∠ACD=90°，∠B=∠D，證明△ABE∽△ADC，得出對應邊成比例，即可得出AD的長．

解答 解：連接AC、CD，如圖所示：
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-21}$=2，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+5}$=3，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°=∠AEB，
又∵∠B=∠D，
∴△ABE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}$，即$\frac{2}{3}=\frac{5}{AD}$，
解得：AD=7.5．

點評 本題考查了圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質；熟練掌握圓周角定理，證明三角形相似是解決問題的關鍵．