Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax²+bx-8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線L經(jīng)過坐標(biāo)原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標(biāo)分別為（-2，0），（6，-8）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式，并分別求出點B和點E的坐標(biāo)；
（2）試探究拋物線上是否存在點F，使△FOE≌△FCE？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、D坐標(biāo)代入拋物線可求得拋物線的函數(shù)表達式，則拋物線的對稱性可求得B點坐標(biāo)，由D點坐標(biāo)可求得直線OD的解析式，則可求得E點坐標(biāo)；
（2）結(jié)合（1）可知OE=CE，由全等三角形的性質(zhì)可知OF=CF，可知點F在線段OC的垂直平分線上，則可求得F點的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得F點的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵拋物線y=ax²+bx-8經(jīng)過點A（-2，0），D（6，-8），
∴$\left\{{\begin{array}{l}{4a-2b-8=0\;\;\;\;}\\{36a+6b-8=-8}\end{array}}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數(shù)表達式為$y=\frac{1}{2}{x^2}-3x-8$；
∵$y=\frac{1}{2}{x^2}-3x-8=\frac{1}{2}{（{x-3}）^2}-\frac{25}{2}$，
∴拋物線的對稱軸為直線x=3．
又拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為（-2，0）．
∴點B的坐標(biāo)為（8，0），
設(shè)直線L的函數(shù)表達式為y=kx．
∵點D（6，-8）在直線L上，
∴6k=-8，解得k=-$\frac{4}{3}$，
∴直線L的函數(shù)表達式為y=-$\frac{4}{3}$x，
∵點E為直線L和拋物線對稱軸的交點，
∴點E的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為-$\frac{4}{3}$×3=-4，
∴點E的坐標(biāo)為（3，-4）；

（2）拋物線上存在點F，使△FOE≌△FCE．
∵OE=CE=5，
∴FO=FC，
∴點F在OC的垂直平分線上，此時點F的縱坐標(biāo)為-4，
∴$\frac{1}{2}$x²-3x-8=-4，解得x=3±$\sqrt{17}$，
∴點F的坐標(biāo)為（3-$\sqrt{17}$，-4）或（3+$\sqrt{17}$，-4）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中確定出點F在線段OC的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，難度適中．