Question

5．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，直線PO交⊙O與點E，F，過點A作PO的垂線AB，垂足為D，交⊙O與點B，延長BO與⊙O交與點C，連接AC，BF．
（1）求證：PB與⊙O相切；
（2）試探究線段OA、OD、OP之間的數量關系，并加以證明．
（3）若AC=12，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求cos∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）先根據切線的性質得：∠OAP=90°，再由垂徑定理得：D為AB中點，由等腰三角形三線合一得：∠AOP=∠BOP，證明△OAP≌△OBP，可以得出結論；
（2）證明△AOD∽△POA，列比例式$\frac{OA}{OP}=\frac{OD}{OA}$，可得結論；
（3）連接BE，構建直角△BEF．在該直角三角形中利用銳角三角函數的定義、勾股定理可設BE=x，BF=2x，進而可得EF=$\sqrt{5}$x；然后由面積法求得BD的長，所以根據垂徑定理求得AB的長度，在Rt△ABC中，根據勾股定理易求BC的長；最后由余弦三角函數的定義求解．

解答 證明：（1）連接OA，
∵PA與⊙O相切，
∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D為AB中點，
∵OA=OB，
∴∠AOP=∠BOP，
在△OAP和△OBP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOP=∠BOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBP（SAS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴BP⊥OB，
則直線PB為圓O的切線；
（2）答：OA²=OD•OP，
證明：∵OP⊥AB，
∴∠ADO=90°，
∴∠AOD+∠OAD=90°，
∵∠AOD+∠APO=90°，
∴∠OAD=∠APO，
∵∠ADO=∠OAP=90°，
∴△AOD∽△POA，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OD}{OA}$，
∴OA²=OD•OP；
（3）解：連接BE，則∠FBE=90°．
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴可設BE=x，BF=2x，
則由勾股定理，得，
EF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴BC=EF=$\sqrt{5}$x，
∵$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$EF•BD，
∴BD=$\frac{x•2x}{\sqrt{5}x}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
又∵AB⊥EF，
∴AB=2BD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，
Rt△ABC中，BC=$\sqrt{5}$x，
AC²+AB²=BC²，
∴12²+（$\frac{4\sqrt{5}}{5}x$）²=（$\sqrt{5}$x）²，
解得：x=4$\sqrt{5}$，
∴BC=4$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=20，
∴cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$．

點評 此題考查了切線的判定與性質，相似及全等三角形的判定與性質以及銳角三角函數關系等知識，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．