Question

12．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，對角線AC、BD交于O點，E為AD延長線上一點，DE=2，直線OE分別交AB、CD于G、F．
（1）求證：DF=BG；
（2）求DF的長；
（3）若∠ABC=60°，求tan∠AEO．

Answer 1

分析 （1）根據菱形的性質得出OD=OB，再由平行線的性質得出∠OBG=∠ODF，故可得出△BGO≌△DFO，進而可得出結論；
（2）過點O作OK∥AD，由三角形中位線定理得出OK的長，再判定出△DEF∽△KOF，利用相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；
（3）過點O作OH⊥AD于點H，根據菱形的性質得出∠ADO=30°，∠OAH=60°，設OH=x，則DH=$\sqrt{3}$x，AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，再由AD=4可得出x的值，進而得出結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OBG=∠ODF．
在△BGO與△DFO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OBG=∠ODF}\\{OB=OD}\\{∠BOG=∠DOF}\end{array}\right.$，
∴△BGO≌△DFO（ASA），
∴DF=BG；

（2）解：過點O作OK∥AD，
∵點O是對角線AC、BD交點，
∴點O是線段AC的中點，
∴OK是△ACD的中線，
∴OK=$\frac{1}{2}$AD=2，DK=$\frac{1}{2}$CD=2．
∵AD∥OK，
∴△DEF∽△KOF，
∴$\frac{OK}{DE}$=$\frac{KF}{DF}$，即$\frac{2}{2}$=$\frac{2-DF}{DF}$，解得DF=1．

（3）解：過點O作OH⊥AD于點H，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADO=30°，∠OAH=60°，
設OH=x，則DH=$\sqrt{3}$x，AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵AD=4，
∴$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=4，解得x=$\sqrt{3}$，
∴HD=3，OH=$\sqrt{3}$，
∴HE=HD+DE=3+2=5，
∴tan∠AEO=$\frac{OH}{HE}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、菱形的性質及銳角三角函數的定義等知識，涉及面較廣，難度較大．