Question

2．如圖，正方形ABCD的邊長為a，AC與BD交于點O，E為OD中點，動點P從點O出發，沿折O→E→A→B→O的路徑運動，回到點O時運動停止．設點P運動的路程長為x，AP長為y，則y關于x的函數圖象大致是    （　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根據題意設出點P運動的路程x與點P到點A的距離y的函數關系式，然后對點P在不同線段上時分別進行分析，并寫出分段函數，結合圖象得出答案．

解答 解：∵正方形ABCD的邊長為a，
∴BD=$\sqrt{2}$a，AC⊥BD，
∴OD=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∵E為OD中點，
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，
當點P在OE上時，
∵OP=x，OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}}$，
當點P在AE上時，
在Rt△AOE中，AE=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$a，
∴y=$\frac{\sqrt{10}}{4}a+\frac{\sqrt{2}}{4}a$-x=-x+$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$a；
當點P在AB上時，
∴y=x-$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$a，
當點P在OB上時，
∵OP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+a+$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{4}$a+$\frac{\sqrt{2}}{4}$a-x=$\frac{\sqrt{10}+4\sqrt{2}}{4}$a-x，
∴y=$\sqrt{O{A}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}{a}^{2}+（\frac{\sqrt{10}+4\sqrt{2}}{4}a-x）^{2}}$，
合函數解析式可以得出第1，4段函數的圖象是開口向上的拋物線，第2，3段函數的圖象是直線，故只有A符合要求，
故選：A．

點評 此題主要考查了動點問題的函數圖象問題；根據自變量不同的取值范圍得到相應的函數關系式是解決本題的關鍵．