Question

6．如圖，已知二次函數y=-x²+bx+c的圖象交x軸于點A（-4，0）和點B，交y軸于點C（0，4）．
（1）求這個二次函數的表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得|PA-PC|的值最大？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在平面直角坐標系內，是否存在點Q，使A，B，C，Q四點構成平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、C兩點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）由A、B關于對稱軸對稱，則可知PA=PB，則當P、B、C三點在一條線上時滿足|PA-PC|最大，利用待定系數法可求得直線BC解析式，則可求得P點坐標；
（3）分AB為邊和AB為對稱線兩種情況，當AB為邊時，利用平行四邊形的性質可得到CQ=AB，可得到關于D點的方程，可求得D點坐標，當AB為對角線時，則AB的中點也為CQ的中點，則可求得Q點坐標．

解答 解：
（1）∵二次函數y=-x²+bx+c的圖象交x軸于點A（-4，0）和點B，交y軸于點C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴二次函數的表達式為y=-x²-3x+4；
（2）∵y=-x²-3x+4，
∴對稱軸為x=-$\frac{3}{2}$，
∵A（-4，0），
∴B（1，0），
∵P在對稱軸上，
∴PA=PB，
∴|PA-PC|=|PB-PC|≤BC，即當P、B、C三點在一條線上時|PA-PC|的值最大，
設直線BC解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-4x+4，
令x=-$\frac{3}{2}$可得y=-4×（-$\frac{3}{2}$）+4=10，
∴存在滿足條件的點P，其坐標為（$-\frac{3}{2}，10$）；
（3）存在點Q，使A，B，C，Q四點構成平行四邊形，
理由：①以AB為邊時，則有CQ∥AB，即點Q的縱坐標為4，
∵CQ=AB=5，且C（0，4），
∴Q（-5，4）或（5，4），
②以AB為對角線時，CQ必過線段AB中點，且被AB平分，即：AB的中點也是CQ的中點，
∵A、B中點坐標為（-$\frac{3}{2}$，0），且C（0，4），
∴Q點橫坐標=2×（-$\frac{3}{2}$）-0=-3，Q點縱坐標=0-4=-4，
∴Q（-3，-4），
綜合可知存在滿足條件的點D，坐標為（-5，4）或（5，4）或（-3，-4）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、軸對稱的性質、平行四邊形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用步驟，在（2）中確定出點P的位置是解題的關鍵，在（3）中分AB為邊和AB為對稱線兩種情況分別求解是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．