Question

14．在△ABC中（如圖1），AB=17，BC=21，AC=10．

（1）求△ABC的面積（某學習小組經過合作交流，給出了下面的解題思路，如圖2，請你按照他們的解題思路完成解解答過程）．
（2）若點P在直線BC上，當△APC為直角三角形時，求CP的長．（利用（1）的方法）
（3）若有一點Q在在直線BC上運動，當△AQC為等腰三角形時，求BQ的長．

Answer 1

分析 （1）作AD垂直于BC，設BD=x，則有CD=21-x，分別利用勾股定理表示出AD²，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，進而確定出AD的長，求出三角形ABC面積即可；
（2）如圖所示，分兩種情況考慮：當△ACP₂為直角三角形時；當△ACP₁為直角三角形時，分別求出CP的長即可；
（3）如圖所示，分四種情況考慮：當AC=CQ₁=10時；當AQ₂=AC=10時；當AQ₃=CQ₃時；當AC=CQ₄=10時，分別求出BQ的長即可．

解答 解：（1）作AD⊥BC，

設BD=x，則有CD=21-x，
在Rt△ABD中，根據勾股定理得：AD²=17²-x²，
在Rt△ACD中，根據勾股定理得：AD²=10²-（21-x）²，
可得289-x²=100-（21-x）²，
整理得：42x=630，
解得：x=15，
∴AD=8，
則S=$\frac{1}{2}$BC•AD=84；   
（2）如圖所示：AB=17，BC=21，AC=10．


當P₂與D重合時，此時△APC₂為直角三角形，CP₂=6；
當△AP₁C為直角三角形時，
在Rt△ADP₁中，AP₁²=AD²+DP₁²=64+DP₁²，
在Rt△ACP1中，AP₁²=CP₁²-AC²=（DP₁+6）²-100，
即64+DP₁2=（DP₁+6）²-100，
解得：P₁D=$\frac{32}{3}$，此時CP₁=$\frac{50}{3}$；     
（3）如圖所示，

分四種情況考慮：當AC=CQ₁=10時，BQ₁=21-10=11；
當AQ₂=AC=10時，CD=Q₂D=6，此時BQ₂=21-12=9；
當AQ₃=CQ₃時，此時BQ₃=$\frac{38}{3}$；
當AC=CQ₄=10時，BQ₄=21+10=31．

點評 此題屬于三角形綜合題，涉及的知識有：勾股定理，相似三角形的判定與性質，以及線段垂直平分線定理，熟練掌握定理是解本題的關鍵．