Question

8．三角形不等式是指一個三角形的兩邊長度之和大于第三邊的長度．在圖中，E位于線段AC上，D位于線段BE上．
（1）說明為什么AB+AE＞DB+DE；
（2）說明為什么AB+AC＞DB+DC；
（3）AB+BC+CA與2（DA+DB+DC），哪一個更大？證明你的答案；
（4）AB+BC+CA與DA+DB+DC，哪一個更大？證明你的答案．

Answer 1

分析 （1）根據三角形三邊關系，可得△ABE中，AB+AE＞BE，據此可得AB+AE＞BD+DE；
（2）根據AB+AE＞BD+DE①，DE+EC＞DC②，由①+②，化簡得結論；
（3）根據AD+DB＞AB，AD+DC＞AC，DB+DC＞BC，由三個式子相加，即可得出結論；
（4）根據AB+AC＞DB+DC，AB+BC＞DA+DC，AC+BC＞DA+DB，三個式子相加，可得結論．

解答 解：（1）∵△ABE中，AB+AE＞BE，
∴AB+AE＞BD+DE；

（2）∵AB+AE＞BD+DE，①
DE+EC＞DC，②，
由①+②，化簡得：
AB+AC＞DB+DC；

（3）2（DA+DB+DC）＞AB+BC+CA．
證明：∵AD+DB＞AB，AD+DC＞AC，DB+DC＞BC，
三個式子相加，得：
2（DA+DB+DC）＞AB+BC+CA；

（4）AB+AC+BC＞DA+DB+DC．
證明：由（2）可得，AB+AC＞DB+DC，
同理，AB+BC＞DA+DC，AC+BC＞DA+DB，
三個式子相加，可得：
2（AB+AC+BC）＞2（DA+DB+DC），
∴AB+AC+BC＞DA+DB+DC．

點評 本題主要考查了三角形三邊關系的運用，解決問題的關鍵是掌握三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．