Question

4．已知將一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90°，∠COD=30°）如圖1擺放，點O、A、C在一條直線上，將直角三角板OCD繞點O逆時針方向轉動，變化擺放如圖位置
（1）如圖2，當∠OAC為多少度時，OB恰好平分∠COD？
（2）如圖3，當三角板OCD擺放在∠AOB內部時，作射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BDO，如果三角形OCD在∠AOB內繞點O任意轉動，∠MON的度數是否發生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由
（3）如圖4，當三角板OCD轉到∠AOB外部時，射線OM、ON仍然分別平分∠AOC、∠BOD，在旋轉過程中，（2）中的結論是否成立？如果結論成立，請說明理由；如果不成立，請寫出你的結論并根據圖4說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圖可得角之間的關系：∠BOD=90°-∠COD，∠AOC=90°-$\frac{1}{2}$∠COD，據此解答；
（2））由圖可得角之間的關系：∠MON=$\frac{1}{2}$（∠AOB-∠COD）+∠COD，于是得到結論；
（3）由圖可得角之間的關系；∠MON=∠MOC+∠NOD-30°，于是得到結論．

解答 解：∵∠BAC+∠ABP+∠BPF+∠AFP=360°，且∠BPF+∠BAC=180°，
∴∠ABP+∠AFP=180°，
（1）∵OB平分∠COD，∠COD=30°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠COD=15°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-15°=75°，

（2）∵∠AOB=90°，∠COD=30°，
∴∠AOC+∠BOD=90°-30°=60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC+∠NOD=$\frac{1}{2}$∠AOC+∠BOD）=30°，
∴∠MON=∠COD+∠MOC+∠NOD=30°+30°=60°，

（3）∵∠AOB=90°，∠COD=30°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-90°+∠COD=300°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC+∠NOD=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD）=150°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOD-∠COD=150°-30°=120°．

點評 本題考查了角的計算，難點是找出變化過程中的不變量，需要結合圖形來計算，對同學們的作圖、分析、計算能力有較高要求．在計算分析的過程中注意動手操作，在旋轉的過程中得到不變的量．