Question

15．如圖所示，一次函數(shù)y=-$\frac{2}{3}$x+2的圖象分別與x軸、y軸交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，試求經(jīng)過B、C兩點的直線的函數(shù)表達式．

Answer 1

分析 根據(jù)坐標軸上的點的坐標特征，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點的坐標，得出OA=3，OB=2，作CD⊥x軸于點D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性質(zhì)可知OA=CD，AD=OB，故可得出C點坐標，再用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式．

解答 解：一次函數(shù)y=-$\frac{2}{3}$x+2中，
令y=0，解得x=3．
則點A的坐標是（3，0）．
令x=0得y=2．
則點B的坐標是（0，2）．
∴OA=3，OB=2，
作CD⊥x軸于點D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
在△ABO與△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOA=∠CDA=90°}\\{∠ACD=∠BAO}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=OB=2，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=5．
則點C的坐標是（5，3）．
設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{5k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
則直線BC的解析式是：y=$\frac{1}{5}$x+2．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．