Question

8．如圖，點O為等邊△ABC內一點，OA=2$\sqrt{5}$，OC=$\sqrt{15}$，連接BO并延長交AC于點D，且∠DOC=30°，過點B作BF⊥BD交CO延長線于點F，連接AF，過點D作DE⊥AF于點E，則DE=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 過點C作CM⊥CF交BD延長線于點M，連接AM，由∠BMC=∠BAC=∠BFC=60°知A、F、B、C、M五點共圓，證∠AMB=60°、OM=OA=2$\sqrt{5}$得△AOM是等邊三角形，由∠AOM=60°=∠OMC知MC∥AO，得$\frac{DM}{OD}$=$\frac{CM}{AO}$=$\frac{CM}{OM}$=$\frac{1}{2}$，從而有OD=$\frac{2}{3}$OM=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$、DM=$\frac{1}{3}$OM=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，由A、F、B、M四點共圓證△ODG是等邊三角形，得AG=OA-OG=OM-OD=DM=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$、EG=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，根據DE=DG+EG=OD+EG得出答案．

解答 解：過點C作CM⊥CF交BD延長線于點M，連接AM，

∵∠DOC=30°，
∴∠BMC=∠BAC=∠BFC=60°，
∴A、F、B、C、M五點共圓，
∴∠AMB=∠ACB=60°，
∵OC=$\sqrt{15}$、∠COD=30°，
∴OM=$\frac{OC}{cos∠COD}$=2$\sqrt{5}$=OA，
∴△AOM是等邊三角形，
∴∠AOM=60°，
∵∠AOM=60°=∠OMC，
∴MC∥AO，
∴$\frac{DM}{OD}$=$\frac{CM}{AO}$=$\frac{CM}{OM}$=$\frac{1}{2}$，
∴OD=$\frac{2}{3}$OM=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，DM=$\frac{1}{3}$OM=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∵A、F、B、M四點共圓，
∴∠FAM=180°-∠FBM=90°，
∴∠EAG=∠FAM-∠OAM=30°，
∴∠OGD=∠AGE=60°，
∴△ODG是等邊三角形，
∴AG=OA-OG=OM-OD=DM=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴EG=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴DE=DG+EG=OD+EG=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
故答案為：$\frac{5\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題主要考查等邊三角形的判定與性質、四點共圓、相似三角形的判定與性質及解直角三角形的應用，熟練掌握四點共圓與等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵．