Question

9．如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是AB和BC延長線上的點，且AE=CF．
（1）求證：△ADE≌△CDF；
（2）連接EF，若AB=3，AE=1，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等進行證明即可；
（2）先求得BE=3-1=2，BF=3+1=4，再根據勾股定理，在Rt△BEF中，求得EF即可．

解答 解：（1）∵正方形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，則
∠DCF=∠A=90°，AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠A=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）∵AB=BC=3，CF=AE=1，
∴BE=3-1=2，BF=3+1=4，
∴Rt△BEF中，EF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定以及勾股定理的運用，解題時注意：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．