Question

7．如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)中的正方形紙片，點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A 在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OC=4，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0），過點(diǎn) N且平行于y軸的直線MN與EB交于點(diǎn)M．現(xiàn)將紙片折疊，使頂點(diǎn)C落在MN上，并與MN上的點(diǎn)G重合，折痕為EF，點(diǎn)F為折痕與y軸的交點(diǎn)．連接OB，D為OB上動(dòng)點(diǎn)，作DQ∥x軸交BA于點(diǎn)Q，以DQ為邊，向下作正方形DQHI，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t．
（1）求點(diǎn)G的坐標(biāo)及折痕EF所在直線的解析式．
（2）點(diǎn)D從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，正方形DQHI與△OAB重疊的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量t的取值范圍．
（3）設(shè)點(diǎn)P為直線EF上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、F、G為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△EMG中，根據(jù)EM=1，EC=EG=2，推出∠EGM=30°，由此即可求出MG，求出點(diǎn)G坐標(biāo)，再在Rt△CFE中，證明∠CFE=30°，即可求出點(diǎn)F坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形DQAK．②如圖2中，當(dāng)2＜t＜4時(shí)，重疊部分是正方形DQHI．分別求解即可．
（3）如圖3中，分四種情形求解即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形ABCO是正方形，
∴BC=OA=4，
∵E為CB中點(diǎn)，
∴EB=2，
∵M(jìn)N∥y軸，N（3，0），
∴MN⊥EB且MB=NA=1，
∴EM=1，
而EG=EC=2，
∴sin∠EGM=$\frac{EM}{EG}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EGM=30°，
∴MG=EGcos30°=$\sqrt{3}$，
∴G（3，4-$\sqrt{3}$）；
∵∠EGM=30°，
∴∠MEG=∠FEG=∠CEF=60°，
∴CF=CEtan60°=2 $\sqrt{3}$，
∴FO=4-2 $\sqrt{3}$，
∴F（0，4-2 $\sqrt{3}$），E（2，4），
設(shè)直線EF的解析式：y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{b=4-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=4-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴折痕EF所在直線解析式：y=$\sqrt{3}$x+4-2 $\sqrt{3}$；

（2）①如圖1中，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形DQAK．

S=DK•AK=t（4-t）=-t²+4t．

②如圖2中，當(dāng)2＜t＜4時(shí)，重疊部分是正方形DQHI．

S=DQ²=（4-t）²，
綜上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+4t}&{（0＜t≤2）}\\{（4-t）^{2}}&{（2＜t＜4）}\end{array}\right.$．
（3）如圖3中，

當(dāng)FG=FP₁時(shí)，∵FG=FC=2$\sqrt{3}$，∠OFP₁=30°，可得P₁（-$\sqrt{3}$，1-2$\sqrt{3}$），
當(dāng)P₂F=P₂G時(shí)，∵∠P₂FG=∠P₂GF=30°，△P₂EG是等邊三角形，可得P₂（1，4-$\sqrt{3}$），
當(dāng)FG=FP₃時(shí)，∵FG=FP₃=2$\sqrt{3}$，∠GFP₃=30°，可得P₃（$\sqrt{3}$，7-2$\sqrt{3}$），
當(dāng)GF=GP₄時(shí)，G、M、P₄共線，易知P₄（3，4+$\sqrt{3}$），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，1-2 $\sqrt{3}$）或（1，4-$\sqrt{3}$）或（ $\sqrt{3}$，7-2 $\sqrt{3}$）或（3，4+$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合運(yùn)用、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理，直角三角形30度角性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．