Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（9，12），點B是x軸正半軸上的一個動點，作AC⊥AB，使AC：AB=4：3，過點C的直線y=-$\frac{4}{3}$x$+\frac{4}{3}$m$+\frac{100}{3}$交x軸于點D，當m取何值時，△OCD為等腰三角形？

Answer 1

分析 過A作AE⊥OD于E，過C作CF⊥OD于F，AH⊥CF于H，則四邊形AEFH是矩形，求得∠EAH=90°，推出△ABE∽△ACH，根據相似三角形的性質得到AE=12，OE=9，得到OF=25，CF=-$\frac{4}{3}$×25$+\frac{4}{3}$m$+\frac{100}{3}$=$\frac{4}{3}$m，根據勾股定理得到OC=$\sqrt{2{5}^{2}+\frac{16}{9}m}$，OD=m+25，CD=$\sqrt{{m}^{2}+\frac{16}{9}{m}^{2}}$，根據等腰三角形的定義列方程即可得到結論．

解答 解：過A作AE⊥OD于E，過C作CF⊥OD于F，AH⊥CF于H，
則四邊形AEFH是矩形，
∴∠EAH=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠EAB=∠CAH，
∵∠AEB=∠AHC=90°，
∴△ABE∽△ACH，
∴$\frac{AE}{AH}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∵A（9，12），
∴AE=12，OE=9，
∴AH=16，
∴OF=25，
∴CF=-$\frac{4}{3}$×25$+\frac{4}{3}$m$+\frac{100}{3}$=$\frac{4}{3}$m，
∴OC=$\sqrt{C{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}+\frac{16}{9}m}$，OD=m+25，CD=$\sqrt{{m}^{2}+\frac{16}{9}{m}^{2}}$，
當OC=OD時，$\sqrt{2{5}^{2}+\frac{16}{9}m}$=m+25，解得：m=$\frac{450}{7}$，
當OD=CD時，m+25=$\frac{5}{3}$m，解得：m=$\frac{75}{2}$，
當OC=CD時，$\sqrt{2{5}^{2}+\frac{16}{9}m}$=$\frac{5}{3}$m，解得：m=25，
綜上所述：當m=$\frac{450}{7}$或$\frac{75}{2}$或25時，△OCD為等腰三角形．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．