Question

11．如圖，E是正方形ABCD的BC邊上一點，BE的垂直平分線交對角線AC于點P，連接PB，PE，PD，DE．請判斷△PED的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析 根據正方形的性質四條邊都相等可得BC=CD，對角線平分一組對角線可得∠ACB=∠ACD，然后利用“邊角邊”證明△PBC和△PDC全等，根據全等三角形對應邊相等可得PB=PD，然后等量代換即可得證，根據全等三角形對應角相等可得∠PBC=∠PDC，根據等邊對等角可得∠PBC=∠PEB，從而得到∠PDC=∠PEB，再根據∠PEB+∠PEC=180°求出∠PDC+∠PEC=180°，然后根據四邊形的內角和定理求出∠DPE=90°，判斷出△PDE是等腰直角三角形．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠ACB=∠ACD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB=PD，
∵PE=PB，
∴PE=PD，
∵∠BCD=90°，
∵△PBC≌△PDC，
∴∠PBC=∠PDC，
∵PE=PB，
∴∠PBC=∠PEB，
∴∠PDC=∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°，
在四邊形PECD中，∠EPD=360°-（∠PDC+∠PEC）-∠BCD=360°-180°-90°=90°，
又∵PE=PD，
∴△PDE是等腰直角三角形．

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊對等角的性質，等腰直角三角形的判定與性質，難點在于利用四邊形的內角和定理求出∠EPD=90°．