Question

18．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=9，AD=6，∠ADC的平分線交AB于點E，交CB的延長線于點F，AG⊥DE，垂足為G．若AG=4$\sqrt{2}$，則△BEF的面積是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先利用已知條件可證明△ADE是等腰三角形，根據等腰三角形“三線合一”的性質得出DE=2DG，而在Rt△ADG中，由勾股定理可求得DG的值，即可求得DE的長；然后，證明△ADE∽△BFE，再分別求出△ADE的面積，然后根據面積比等于相似比的平方即可得到答案．

解答 解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE；
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠ADE=∠CDF=∠AED，
∴AD=AE=6，
∵AG⊥DE，垂足為G，
∴DE=2DG．
在Rt△ADG中，∵∠AGD=90°，AD=6，AG=4$\sqrt{2}$，
∴DG=$\sqrt{A{D}^{2}-A{G}^{2}}$=2，
∴DE=2DG=4；
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$DE•AG=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$．
∵AE=6，AB=DC=9，
∴BE=AB-AE=9-6=3，
∴AE：BE=6：3=2：1．
∵AD∥FC，
∴△ADE∽△BFE，
∴S_△ADE：S_△BFE=（AE：BE）²=4：1，
則S_△BEF=$\frac{1}{4}$S_△ADE=2$\sqrt{2}$．
故選B．

點評 本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對數學中的數形結合思想的考查，難度適中．