Question

14．如圖，已知△ABC中高AD恰好平分邊BC，∠B=30°，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點且OP=OC，下面的結論：
①AC=AB；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC是等邊三角形；④AC=AO+AP．
其中正確的為（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①根據SAS定理得出△ABD≌△ACD，由全等三角形的性質即可得出結論；
②利用等邊對等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據此即可求解；
③證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形；
④首先證明△OPA≌△CPE，則AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP

解答 解：∵△ABC中高AD恰好平分邊BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD，
在∠ABD與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=AD\\∠ADB=∠ADC\\ BD=CD\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC．
故①正確；
如圖1，連接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故②正確；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等邊三角形；
故③正確；
如圖2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}PA=PE\\∠APO=∠CPE\\ OP=CP\end{array}\right.$，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故④正確．
故選D．

點評 本題主要考查了等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．