Question

4．一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘a•a•…•a，記為aⁿ，如2×2×2=2³=8，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為log₂8（即log₂8=3）．一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為log_nb（即log_nb）．如3⁴=81，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為log₃81（即log₃81=4）．
（1）計(jì)算下列各對(duì)數(shù)的值：log₂4=2；log₂16=4；log₂64=6．
（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log₂4、log₂16、log₂64之間又滿足怎樣的關(guān)系式；
（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？
（4）根據(jù)冪的運(yùn)算法則：aⁿ•a^m=a^n+m以及對(duì)數(shù)的含義說(shuō)明上述結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題中給出已知概念，可得出答案．
（2）觀察可得：三數(shù)4，16，64之間滿足的關(guān)系式為：log₂4+log₂16=log₂64．
（3）通過(guò)分析，可知對(duì)數(shù)之和等于底不變，各項(xiàng)b值之積；
（4）首先可設(shè)設(shè)M=a^m，N=aⁿ，再根據(jù)冪的運(yùn)算法則：aⁿ•a^m=a^n+m以及對(duì)數(shù)的含義證明結(jié)論．

解答 解：（1）log₂4=2；log₂16=4；log₂64=6，
故答案為：2；4；6；

（2）∵4×16=64，
∴l(xiāng)og₂⁴+log₂¹⁶=log₂⁶⁴；

（3）log_a^M+log_a^N=log_a^MN；

（4）設(shè)M=a^m，N=aⁿ，
∵$lo{g}_{{a}^{{a}^{m}}}$=m，$lo{g}_{{a}^{{a}^{n}}}$=n，
$lo{g}_{{a}^{{a}^{m+n}}}$=m+n，
∴$lo{g}_{{a}^{{a}^{m}}}$+$lo{g}_{{a}^{{a}^{n}}}$=$lo{g}_{{a}^{{a}^{m+n}}}$，
∴$lo{g}_{{a}^{M}}$+$lo{g}_{{a}^{N}}$=$lo{g}_{{a}^{{a}^{MN}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是開放性的題目，難度較大．借考查對(duì)數(shù)，實(shí)際考查學(xué)生對(duì)指數(shù)的理解、掌握的程度；要求學(xué)生不但能靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用其運(yùn)算法則，還要會(huì)類比、歸納，推測(cè)出對(duì)數(shù)應(yīng)有的性質(zhì)．