Question

14．如圖，矩形ABCD的四個頂點正好落在四條平行線上，并且從上到下每兩條平行線間的距離都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的長是$\frac{\sqrt{73}}{4}$．

Answer 1

分析 作輔助線，構建相似三角形，證明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的長，利用勾股定理可以求AB的長．

解答 解：過A作AE⊥BM于E，過C作CF⊥BM于F，則CF=1，AE=2，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠BAE=∠CBE，
∴△ABE∽△BCF，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{CF}$，
∴$\frac{3}{4}=\frac{BE}{1}$，
∴BE=$\frac{3}{4}$，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{73}}{4}$．

點評 本題考查了矩形的性質、相似三角形的判定與性質、兩平行線的距離以及勾股定理；熟練掌握矩形的性質，證明三角形相似是解決問題的關鍵．