Question

13．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=12，CD=AC=16，M、N分別是對角線BD、AC的中點．
（1）求證：MN⊥AC；
（2）求MN的長．

Answer 1

分析 （1）連接AM、CM，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AM=CM=BM=DM=$\frac{1}{2}$BD，再根據等腰三角形三線合一的性質證明；
（2）利用勾股定理類似求出BD，再求出AM、AN，再利用勾股定理列式計算即可得解．

解答 （1）證明：如圖，連接AM、CM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中點，
∴AM=CM=BM=DM=$\frac{1}{2}$BD，
∵N是AC的中點，
∴MN⊥AC；

（2）解：∵∠BCD=90°，BC=12，CD=16，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=20，
∴AM=$\frac{1}{2}$×20=10，
∵AC=16，N是AC的中點，
∴AN=$\frac{1}{2}$×16=8，
∴MN=$\sqrt{A{M}^{2}-A{N}^{2}}$=8．

點評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形三線合一的性質，勾股定理，熟記性質與定理并作輔助線構造出等腰三角形是解題的關鍵．