Question

1．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點A、B分別在坐標軸上．
（1）如圖①，若點C的橫坐標為5，直接寫出點B的坐標（0，2）；（提示：過C作CD⊥y軸于點D，利用全等三角形求出OB即可）
（2）如圖②，若點A的坐標為（-6，0），點B在y軸的正半軸上運動時，分別以OB、AB為邊在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，連接EF交y軸于點P，當點B在y軸的正半軸上移動時，PB的長度是否發生改變？若不變，求出PB的值．若變化，求PB的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作CD⊥BO，易證△ABO≌△BCD，根據全等三角形對應邊相等的性質即可解題；
（2）作EG⊥y軸，易證△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG=AO和PB=PG，即可求得PB=$\frac{1}{2}$AO，即可解題．

解答 解：（1）如圖1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOA=∠BDC=90°}\\{∠CBD=∠BAO}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD=BO=5，
∴B點坐標（0，5）；
故答案為：（0，5）；

（2）如圖3，作EG⊥y軸于G，
∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，
∴∠BAO=∠EBG，
在△BAO和△EBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BGE=90°}\\{∠BAO=∠EBG}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG=AO，EG=OB，
∵OB=BF，
∴BF=EG，
在△EGP和△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPG=∠FPB}\\{∠EGP=∠FBP=90°}\\{EG=BF}\end{array}\right.$，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB=PG，
∴PB=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$AO=3．

點評 本題考查了勾股定理、角平分線的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握三角形全等的證明是解本題的關鍵．