Question

10．如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AB=4+$\sqrt{3}$，BC=2$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OA，根據圓周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，繼而由∠OAP=∠AOC-∠P，可得出OA⊥PA，從而得出結論；
（2）過點C作CE⊥AB于點E．在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2$\sqrt{3}$，于是得到BE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，CE=3，根據勾股定理得到AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=5，于是得到AP=AC=5．解直角三角形即可得到結論．

解答 （1）證明：連接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切線；

（2）解：過點C作CE⊥AB于點E．
在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，CE=3，
∵AB=4+$\sqrt{3}$，
∴AE=AB-BE=4，
∴在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∴AP=AC=5．
∴在Rt△PAO中，OA=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定及圓周角定理，解答本題的關鍵是掌握切線的判定定理、圓周角定理及含30°直角三角形的性質．