Question

18．已知實數a，b，c滿足條件$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$=0．求代數式$\frac{a}{b-c}$+$\frac{b}{c-a}$+$\frac{c}{a-b}$的值．

Answer 1

分析 先根據等式性質，得出[$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$]+$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}+{b}^{2}-{b}^{2}+{c}^{2}-{c}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$=0，再將添加的部分進行拆分，并約分化簡，即可得到[$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$]+$\frac{a+b}{（b-c）（c-a）}$+$\frac{b+c}{（c-a）（a-b）}$+$\frac{c+a}{（a-b）（b-c）}$=0，左邊因式分解即可得到[$\frac{a}{b-c}$+$\frac{b}{c-a}$+$\frac{c}{a-b}$][$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-a}$+$\frac{1}{a-b}$]=0，進而得出$\frac{a}{b-c}$+$\frac{b}{c-a}$+$\frac{c}{a-b}$=0．

解答 解：∵$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$=0，
∴[$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$]+$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}+{b}^{2}-{b}^{2}+{c}^{2}-{c}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$=0，
∴[$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$]+$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$+$\frac{{b}^{2}-{c}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$+$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$=0，
∴[$\frac{a}{（b-c）^{2}}$+$\frac{b}{（c-a）^{2}}$+$\frac{c}{（a-b）^{2}}$]+$\frac{a+b}{（b-c）（c-a）}$+$\frac{b+c}{（c-a）（a-b）}$+$\frac{c+a}{（a-b）（b-c）}$=0，
∴[$\frac{a}{b-c}$+$\frac{b}{c-a}$+$\frac{c}{a-b}$][$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-a}$+$\frac{1}{a-b}$]=0，
∴[$\frac{a}{b-c}$+$\frac{b}{c-a}$+$\frac{c}{a-b}$]•$\frac{ac+bc+ab-{a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$=0，
又∵ac+bc+ab-a²-b²-c²=-$\frac{1}{2}$[（a-c）²+（b-c）²+（a-b）²]≠0，
∴$\frac{ac+bc+ab-{a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}}{（a-b）（b-c）（c-a）}$≠0，
∴$\frac{a}{b-c}$+$\frac{b}{c-a}$+$\frac{c}{a-b}$=0．

點評 本題主要考查了分式的化簡求值，解決問題的關鍵是配方法的運用，在化簡的過程中要注意運算順序，化簡的最后結果分子、分母要進行約分，結果要化成最簡分式或整式．