Question

1．已知：如圖，在△ABC中，AC=AB=10，BC=16，動點P從A點出發，沿線段AC運動，速度為1個單位/s，時間為t秒，P點關于BC的對稱點為Q．
（1）當t=2時，則CN的長為$\frac{32}{5}$；
（2）連AQ交線段BC于M，若AM=2MQ，求t的值；
（3）若∠BAQ=3∠CAQ時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）過A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性質得到CD=$\frac{1}{2}$BC=8，根據平行線分線段成比例定理結論得到結論；
（2）由軸對稱的性質得到PN=QN，CN⊥PQ，根據等腰三角形的性質得到∠ACB=∠B，根據相似三角形的性質得到$\frac{CQ}{AB}=\frac{QM}{AM}$=$\frac{1}{2}$，于是得到結論；
（3）過A作AD⊥BC于D，根據平行線的性質得到∠DAM=∠AQP，由等腰三角形的性質得到∠BAD=∠CAD，CD=$\frac{1}{2}$BC=8，設AP=PQ=2x，得到PN=x，PC=10-2x，根據勾股定理得到AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=6，根據相似三角形的性質得到結論．

解答 解：（1）當t=2時，AP=2，CP=10-2=8，
如圖1，過A作AD⊥BC于D，
∵AC=AB，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=8，
∵PQ⊥BC，
∴PN∥AD，
∴$\frac{CN}{CD}=\frac{CP}{AC}$，
∴$\frac{CN}{8}=\frac{8}{10}$，
∴CN=$\frac{32}{5}$；
故答案為：$\frac{32}{5}$；
（2）∵P點關于BC的對稱點為Q，
∴PN=QN，CN⊥PQ，
∴CQ=CP，
∴∠QCN=∠PCN，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠B，
∴∠QCM=∠B，
∴CQ∥AB，
∴△CQM∽△BAM，
∴$\frac{CQ}{AB}=\frac{QM}{AM}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴AP=5，
∴t=5；
（3）如圖2，過A作AD⊥BC于D，
∴PQ∥AD，
∴∠DAM=∠AQP，
∵AC=AB，
∴∠BAD=∠CAD，CD=$\frac{1}{2}$BC=8，
∵∠BAQ=3∠CAQ，
∴∠DAM=∠PAM，
∴∠PAQ=∠PQA，
∴AP=PQ=2PN，
設AP=PQ=2x，
∴PN=x，PC=10-2x，
∵AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=6，
∵PQ∥AD，
∴△CPN∽△CAB，
∴$\frac{CP}{CA}=\frac{PN}{AD}$，
∴$\frac{10-2x}{10}$=$\frac{x}{6}$，
∴x=$\frac{30}{11}$，
∴t=$\frac{30}{11}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．