Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，已知A（9，0），B（0，6），⊙M經過原點O及點A、B．
（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標；
（2）過點B作⊙M的切線交x軸于點C，求過點A、B、C的拋物線的解析式；
（3）若∠BOA的平分線交AB于點N，交⊙M于點E，求點N的坐標和線段OE的長．

Answer 1

分析 （1）根據圓周角定理∠AOB=90°得AB為⊙M的直徑，則可得到線段AB的中點即點M的坐標，然后利用勾股定理計算出AB，則可確定⊙M的半徑為；
（2）點B作⊙M的切線l交x軸于C，根據切線的性質得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根據相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，可解得OC，則可求得C點坐標為，最后運用待定系數法確定拋物線的解析式；
（3）作ND⊥x軸，連結AE，易得△NOD為等腰直角三角形，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，利用相似三角形的性質可求得ND，進一步可求得OD、ON，即可確定N點坐標；由于△ADN∽△AOB，利用相似三角形的性質可求得AN，進一步可求得BN，然后利用圓周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出NE，最后由OE=ON+NE計算即可．

解答 解：
（1）∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∵A（9，0），B（0，6），
∴OA=9，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
∴⊙M的半徑為$\frac{3\sqrt{13}}{2}$；
∵A（9，0），B（0，6），
∴圓心M的坐標為（$\frac{9}{2}$，3）；
（2）點B作⊙M的切線l交x軸于C，如圖1，

∵BC與⊙M相切，AB為直徑，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=∠ABC=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽Rt△BCO，
∴$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OA}{OB}$，即$\frac{6}{OC}$=$\frac{9}{6}$，解得OC=4，
∴C點坐標為（-4，0），
設過A、B、C三點的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
把A、B、C三點的坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{81a+9b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6}}\\{b=\frac{5}{6}}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+6；
（3）作ND⊥x軸，連結AE，如圖2，

∵∠BOA的平分線交AB于點N，
∴△NOD為等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（9-ND）：9，解得ND=$\frac{18}{5}$，
∴OD=$\frac{18}{5}$，ON=$\sqrt{2}$ND=$\frac{18\sqrt{2}}{5}$，
∴N點坐標為（$\frac{18}{5}$，$\frac{18}{5}$）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即$\frac{18}{5}$：6=AN：3$\sqrt{13}$，解得AN=$\frac{9\sqrt{13}}{5}$，
∴BN=3$\sqrt{13}$-$\frac{9\sqrt{13}}{5}$=$\frac{6\sqrt{13}}{5}$，
∵∠OBA=∠OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即$\frac{6\sqrt{13}}{5}$：NE=$\frac{18\sqrt{2}}{5}$：$\frac{9\sqrt{13}}{5}$，解得NE=$\frac{39\sqrt{2}}{10}$，
∴OE=ON+NE=$\frac{18\sqrt{2}}{5}$+$\frac{39\sqrt{2}}{10}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題為圓的綜合應用，涉及切線的性質、圓周角定理及其推論、待定系數法、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識點．在（1）中確定出AB為直徑是解題的關鍵，在（2）中利用相似三角形的性質求得點C的坐標是解題的關鍵，在（3）中構造相似三角形分別求得ON、NE的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，計算量大，難度很大．