Question

4．如圖，一次函數(shù)y=-x+b與反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，連結(jié)OA，OB，過A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m．
（1）用含m的代數(shù)式表示出b；
（2）若S_△OAF+S_{四邊形EFBC}=4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相等列出等式即可解決問題．
（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．記△AOF面積為S，則△OEF面積為2-S，四邊形EFBC面積為4-S，△OBC和△OAD面積都是6-2S，△ADM面積為4-2S=2（2-s），所以S_△ADM=2S_△OEF，推出EF=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$NB，得B（2m，$\frac{2}{m}$）代入直線解析式即可解決問題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為$\frac{4}{m}$，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，$\frac{4}{m}$）．
令一次函數(shù)y=-x+b中x=m，則y=-m+b，
∴-m+b=$\frac{4}{m}$
即b=m+$\frac{4}{m}$．

（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．

∵反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$、一次函數(shù)y=-x+b都是關(guān)于直線y=x對稱，
∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，記△AOF面積為S，
則△OEF面積為2-S，四邊形EFBC面積為4-S，△OBC和△OAD面積都是6-2S，△ADM面積為4-2S=2（2-s），
∴S_△ADM=2S_△OEF，
由對稱性可知AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$NB，
∴EF是△OBN的中位線，
∴N（2m，0），
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（2m，$\frac{2}{m}$）代入直線y=-x+m+$\frac{4}{m}$，
∴$\frac{2}{m}$=-2m+m+$\frac{4}{m}$，整理得到m²=2，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)、對稱等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用對稱性得到很多相等的線段，學(xué)會(huì)設(shè)參數(shù)解決問題．