Question

16．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊的中點，∠EDF=90°，將∠EDF繞點D旋轉，它的兩邊分別交AC，CB（或它們的延長線）于E，F．

（1）當∠EDF繞點D旋轉到DE⊥AC于E時，如圖①所示，試證明S_△DEF+S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
（2）當∠EDF繞點D旋轉到DE和AC不垂直時，如圖②圖③所示，上述結論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，試說明S_△DEF，S_△CEF與S_△ABC之間的數量關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）當∠EDF繞D點旋轉到DE⊥AC時，四邊形CEDF是正方形，邊長是AC的一半，即可得出結論；
（2）成立；先證明△CDE≌△BDF，即可得出結論；
（3）不成立；同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S_△DEF=S_{五邊形DBFEC}=S_△CFE+S_△DBC=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC．

解答 解：（1）如圖①中，

當∠EDF繞D點旋轉到DE⊥AC時，四邊形CEDF是正方形；設△ABC的邊長AC=BC=a，則正方形CEDF的邊長為 $\frac{1}{2}$a
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$a²，正方形CEDF的面積=（ $\frac{1}{2}$a）²=$\frac{1}{4}$a²
即S_△DEF+S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；

（2）上述結論成立；理由如下：連接CD；如圖②所示：

∵AC=BC，∠ACB=90°，D為AB中點，
∴∠B=45°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠1=∠2，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CD=BD}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S_△DEF+S_△CEF=S_△ADE+S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；

（3）不成立；S_△DEF-S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；理由如下：連接CD，如圖③所示：

同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°
∴S_△DEF=S_{五邊形DBFEC}，
=S_△CFE+S_△DBC，
=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△DEF-S_△CFE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
∴S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC的關系是：S_△DEF-S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、圖形面積的求法，證明三角形全等是解決問題的關鍵，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．