Question

6．如圖所示，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且∠D=∠E．
（1）求證：∠ADC=∠CBE；
（2）求證：CB=CE；
（3）設AD不是圓O的直徑，AD的中點為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD，由圓周角定理得出∠ACB=∠ADB，∠BAC=∠BDC，再由∠CBE+∠ABC=180°得出∠CBE=∠ACB+∠BAC=∠ADB+∠BDC=∠D，進而可得出結論；
（2）由圓內接四邊形的性質得出∠D=∠CBE，再由∠D=∠E，故可得出∠CBE=∠E，進而得出結論；
（3）設BC的中點為N，連接MN，由等腰三角形的性質得出MN⊥BC，故點O在直線MN上，因為AD不是圓O的直徑，M為AD的中點可得出OM⊥AD，MN⊥AD，BC∥AD，故可得出∠A=∠CBE，再由∠A=∠E可得出∠D=∠E，進而可得出結論．

解答 （1）證明：連接AC，BD，
∵∠ACB=∠ADB，∠BAC=∠BDC，∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
又∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠CBE=∠ACB+∠BAC=∠ADB+∠BDC=∠D，
∴∠D=∠CBE；

（2）證明：∵∠D=∠CBE，∠D=∠E，
∴∠CBE=∠E，
∴CB=CE；

（3）解：設BC的中點為N，連接MN，
∵BM=MC，
∴MN⊥BC，
∴點O在直線MN上．
又∵AD不是圓O的直徑，M為AD的中點，
∴OM⊥AD，
∴MN⊥AD，
∴BC∥AD，
∴∠A=∠CBE．
又∵∠A=∠E，
∴∠D=∠E，
∴△ADE為等邊三角形．

點評 本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟知圓內接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵．