Question

6．如圖，在直角坐標系中，已知點A（8，0）、B（0，6），點P由點B出發沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發沿AO（O為坐標原點）方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設運動時間為t（0＜t＜$\frac{10}{3}$）秒．解答如下問題：
（1）當t為何值時，△APQ與△ABO相似？
（2）設△AQP的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）分兩種情形討論①當$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{OA}$時，△APQ∽△ABO，②當$\frac{AP}{OA}$=$\frac{AQ}{AB}$時，△APQ∽△AOB，分別列出方程計算即可．
（2）過點P作過點P作PD⊥x軸于點D，構造平行線PD∥BO，由線段比例關系 $\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{OB}$ 求得PD，依據三角形的面積公式可求得S與t之間的函數關系式是一個關于t的二次函數，利用二次函數求極值的方法求出S的最大值．

解答 解：（1）如圖①中，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10．
①當$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{OA}$時，△APQ∽△ABO，
即$\frac{10-3t}{10}$=$\frac{2t}{8}$，t=$\frac{20}{11}$．
②當$\frac{AP}{OA}$=$\frac{AQ}{AB}$時，△APQ∽△AOB，
即$\frac{10-3t}{8}$=$\frac{2t}{10}$，t=$\frac{50}{23}$，
綜上所述，t=$\frac{20}{11}$s或$\frac{50}{23}$s時，△PAQ與△AOB相似．

（2）如圖②所示：過點P作PD⊥x軸于點D．

∵PD⊥x軸，OB⊥x軸，
∴OB∥PD．
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{OB}$，即 $\frac{10-3t}{10}$=$\frac{PD}{6}$．
∴PD=6-$\frac{9}{5}$t．
由三角形的面積公式可知：S=$\frac{1}{2}$AQ•PD=$\frac{1}{2}$•2t•（6-$\frac{9}{5}$t）=6t-$\frac{9}{5}$t²．
∴S與t的函數關系式為y=-$\frac{9}{5}$t²+6t．
∴S=-$\frac{9}{5}$（t-$\frac{5}{3}$）²+5．
∴當t=$\frac{5}{3}$s時，S有最大值，最大值為5（平方單位）．

點評 本題主要考查的是動點問題的函數圖象、配方法求二次函數的最值、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．